[高中数学]图解讲通三角函数
如图，可以观察三角函数的特色。
$$
\begin{align}
&其中sin(x)和cos(x)、tg(x)和ctg(x)\\&是两两周期相间，\\
&sin(x)的对称轴为(\frac{\pi}{2}+n\centerdot\pi)\\
&cos(x)的对称轴为(n\centerdot\pi)\\
&tg(x)和ctg(x)是相对于\\&\quad周期轴线(\frac{\pi}{4}+n\centerdot\pi)对称。
\end{align}
$$
1.勾股定理
提到三角函数，就不得不讲起中国古早的荣光“勾股定理”。以至于现在勾股定理已经被玩成一个梗——几乎任何难以解释的理论或者现象、都会有神评：“问就是勾股定理！”
那么我们以前是怎么证明勾股定理的呢？很多人可能都已经忘光了。
用一张图搞定他，很简单的。
$$\begin{align}
&上图相同纹路的面积相等。注意异形四边形BCC'B'的面积，\\
&刚好等于\triangle BB'G，等于\triangle BB'B_2，所以他刚好可以用\triangle\\
&A_1D_2C'和四边形A_2B_2BD_1的面积和替代。所以不难看出，\\
&两个直角边的正方形面积，加起来刚好是斜角边的面积。\\
&\qquad a^2=c^2+b^2\end{align}$$
其实勾股定理与今天庞大的三角函数应用对比起来，已经微不足道。但是三角函数体系的建立，就是从发现勾股定理开始，对这种看上去只是巧合的逻辑进行挖掘，慢慢能够证明，并衍生出复杂的确定并且客观的平面几何定律。我们知道，最早的圆是通过切边法生产的，而切边法又诞生了圆周率；对圆的研究，也发现定长半径画法；切边法也产生了正多边形和角度关系的观察；三角形诱发了角度规范；切边法又产生了总结任意角函数的遐想。这时候我们要说到三角函数。我们小时候的三角函数主要是前辈归纳的一张表，上面详细列出了各种常用的角度下对应的正余弦正余切的具体数值。因为我们以前证明三角函数，主要围绕勾股定理。事实上三维软件发展之前，就算是科研，对三角函数的诉求也很低。但三维软件开发出来后，立体几何立刻成为了一个连平民技术员都不得不面对的一个命题。我们大学主要学习矩阵、线性代数来处理三维几何关系。事实上我们当年学编程的一拨人，实现的对坐标进行计算的软件，都是依赖很头疼的矩阵、线性代数知识，代码特别容易出错。随着三维研究的深入，以前只是在物理领域运用的向量知识开始逐渐丰富，并被引入到数学领域。我今年是第一次接触向量，尤其第一次见到三角函数与向量的互相作用。还好，脑子没有完全退化。这次经过3小时仔细阅读课本，大体上梳理完成了。
三角函数最大的应用主要是几何在生活、科研范畴内应用后最终需要的计算，而学习几何主要就是锻炼物理在空间、力学范畴的应用。三角函数复杂的转换关系，可以协助几何图形帮我们理解空间变化的确定性。向量也是如此。
$$
\begin{align}
&比如：\\
&\quad sin2x=2sinxcosx\\
&让你知道怎么理解角度扩大二倍以后，垂足的变化。\\
&相反：\\
&\quad sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\\
&反映了角度减少一半的时候，垂足的变化
\end{align}
$$
一图解释sin2x的含义
$$
\begin{align}
&图中小红三角形全等。所以四边形AEBF的\\
&面积S_1和三角形ACD的面积S_2相等。\\\
&\because\quad S_1=\frac{1}{2}R\centerdot |EF|\\
&\qquad S_2=\frac{1}{2}R\centerdot |DG| \\
&\therefore\quad |DG|=|EF| \\
&\qquad R\centerdot sin2x=R\centerdot 2sinxcosx
\end{align}
$$
用sin2x的方案只是证明一下，其实大部分三角函数，都可以从绝对的传统平面几何的视角解析。但引入向量以后，三角函数的推导，会变得更加抽象化、代数化。
2.从向量视角推导简单的三角函数公式：
$$
\begin{align}
&sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny\\
&sin(x-y)=sinxcoy-cosxsiny
\end{align}
$$
先看平面几何角度怎么去理解sin(x+y):
至此也能得出
$$
\begin{align}
&\qquad sin(x+y)\overset{\text{令y=x}}{===}sin(x+x)\\
&=sinxcosx+cosxsinx\\
&=2sinxcosx
\end{align}
$$
课本是刻板的从解释cos(x+y)的公式开始的，这种思维我觉得很奇怪。我从另一个角度sin(x+y)开始解释三角函数公式。
我们看图：
$$
\begin{align}
&\qquad\overrightarrow{OA}\centerdot \overrightarrow{OB}\\
&=|a|\centerdot|b|\centerdot cos((\frac{\pi}{2}-β)-α)\\
&=|a|\centerdot|b|\centerdot cos(\frac{\pi}{2}-(α+β))\\
&=sin(α+β)\\
&\qquad\overrightarrow{OA}\centerdot \overrightarrow{OB}\\
&=(cos(\frac{\pi}{2}-β),sin(\frac{\pi}{2}-β))\centerdot(cosα,sinα)\\
&=cos(\frac{\pi}{2}-β)cosα+sin(\frac{\pi}{2}-β)sinα\\
&=cosα\centerdot sinβ + sinα\centerdot cosβ
\end{align}
$$
至此，我们可以令α=x，β=x，以获得sin2x的公式了。
其实初学者更喜欢追求正弦函数，虽然向量的点积运用了余弦函数。但我们的思维不应该被cos这个词眼迷惑。向量点积需要cos是他的客观维度性质决定的，而学生需要先了解sin(x+y)，是由人类正常的思维逻辑决定的。对比从复杂的cos(x+y)解释，返回解释sin(x+y)，为什么不尝试直接解释sin(x+y)呢？我对教材还是不能理解。而且我决定每一个函数，都尽可能的从几何角度解释一遍，哪怕仅仅限于向量几何。
多次引用向量点乘积公式，只是展示一下为甚么要创造这个概念，而不是先去讲这个概念是什么。这个公式的发明，解决了很多问题。那么，这个公式到底有什么具体含义呢？物理力学是从侧向力分解的角度来展现这个公式的应用。这里我们讲解一下，这个公式在数学、和自然科学领域内的通用含义。